अनुपात एवं समानुपात(Ratio and proportion)

अनुपात
दो सजातीय राशियों की तुलना को अनुपात कहते हैं। यदि किसी संख्या x को a:b के अनुपात में दो भागों में विभाजित किया जाए तो दोनों भाग होंगे –
xa/(a+b) , xb/(a+b)

यदि किसी संख्या x को a:b:c के अनुपात में बांटा जाए तो इसके तीन भाग होंगे-
xa/(a+b+c) , xb/(a+b+c) , xc/(a+b+c)

समानुपात
दो अनुपातों की बराबरी को समानुपात कहते हैं
जैसे 5:7 = 15:21 इसे 5:7 :: 15:21 भी लिखा जा सकता है। यदि a:b::c:d तो हम a और b को बाहरी राशियां व c और d को माध्यमिक या आन्तरिक राशियां कहते है।

बाहरी रशियों का गुणनफल = आन्तरिक राशियों का गुणनफल

वर्गानुपात
यदि किसी अनुपात का वर्ग करके नया अनुपात बनाया जाता हैं। तो वह वर्गानुपात कहलाता है।

घनानुपात
यदि किसी अनुपात का घन करके नया अनुपात बनाया जाता है तो वह घनानुपात कहलाता है।

वर्गमूलानुपात
यदि किसी अनुपात का वर्गमुल लेकर नया अनुपात बनाया जाता है।तो वह वर्गमूलानुपात कहलाता है।

विततानुपात
यदि राशियोंa,b,c,d ,…… आदि इस प्रकार हो की a/b=b/c=c/d……. तो राशियां विततानुपाति कहलाती हैं।

मध्यनुपाती
दिये गये दो अनुपातों का मध्यपनुपाती उनके गुणनफल का वर्गमुल होता है।

उदाहरण 01
450 को राम और मोहन में 5:4 में बांटा जाये तो प्रत्येक का हिस्सा कितना होगा –
Solution –
5:4 का योग = 5+4=9
राम का हिस्सा = 450 x 5/9=250
मोहन का हिस्सा =450 x 4/9=200

उदाहरण 02
8:14 :: 16:x
Solution –
बाहरी रशियों का गुणनफल = आन्तरिक राशियों का गुणनफल
8x=14*16
x= (14*16)/8 = 28

उदाहरण 03
यदि अनुपात 9:7 के दोनों पक्षों में से 3-3 घटा दिया जाये तो अनुपातों पर क्या प्रभाव पड़ेगा –
Solution –
दिया है 9:7 = 9/7 = 1.28
9-3/7-3 = 6/4 = 1.5

अतः अनुपात बढ़ेगा

उदाहरण 04
एक बर्तन में 20 लीटर के मिश्रण में दुध व पानी का अनुपात 4:6 है यदि 1 ली. दुध मिलाया जाये तो नया अनुपात क्या होगा –
Solution –
दुध व पानी का अनुपात 4:6
दुध व पानी के अनुपातों का योग = 10

अतः 20 ली मिश्रण में दुध कि मात्रा 4 x 20/10 = 8 लीटर
पानी कि मात्रा = 6 x 20/10 = 12 लीटर

1 लीटर दुध मिलाने से दुध कि मात्रा 8+1 = 9 लीटर

नया अनुपात 9:12= 3:4

उदाहरण 05
Solution –
21 लीटर मिश्रण में दुध व पानी का अनुपात 3:4 है इसमें कितना दुध मिलाया जाये की नया अनुपात 1:1 हो जाये –

मिश्रण में दुध कि मात्रा = 3 x 21/7 = 9 लीटर
मिश्रण में पानी कि मात्रा = 4 x 21/7= 12 लीटर

माना x लीटर दुध मिलाने पर दुध व पानी का अनुपात 1: 1

अतः 9+x:12::1:1
9+x=12
x=3

यानी 3 लीटर दुध मिलाने पर अनुपात 1: 1 हो जायेगा।

उदाहरण 06
एक बर्तन में 60 लीटर दुध है। उसमें से 6 लीटर दुध निकालकर उसके स्थान पर 6 ली. पानी मिलाया जाता है। पूनः 6 ली. मिश्रण निकालकर उसके स्थान पर 6 ली. पानी मिलाया जाता है। इस प्रक्रिया के बाद बर्तन के परिणामी मिश्रण में दुध एवं पानी का क्रमश अनुपात होगा –
Solution –
बर्तन में कुल दुध की मात्रा 60 ली.
6 ली. दुध निकालकर 6 ली. पानी मिलाने पर दुध व पानी का अनुपात = 54:6
अब पुनः 6 ली. मिश्रण निकालने पर निकाली गयी दुध की मात्रा जबकी 60 ली. में दुध 54 ली. ही है। अतः

दुध की मात्रा = 54 x 6/60 = 5.4 ली.

6 ली. मिश्रण में निकाली गयी पानी की मात्रा =6 x 6/60 = 0 .6 ली

अब शेष बचा दुध 54 – 5.4 = 48.6 ली.

शेष बचा पानी 6 – 0.6 = 5.4 ली.

अब इसमें 6 ली. पानी मिलाने पर पानी की मात्रा 5.4 + 6 = 11.4 ली.

अतः अनुपात
48.6: 11.4 या 81: 19

उदाहरण- 07
एक खान में मजदुरों को 5:4 के अनुपात में कम कर दिया जाता है। तथा उनकी मजदुरी 6:7 के अनुपात में बढ़ा दि जाती है। तो कुल देय मजदुरी में वृद्धि होगी या कमी होगी –
Solution
पहले मजदुरों की संख्या =5x
पहले देय मजदुरी = 6y

कुल देय वेतन = 30xy

अब मजदुरों की संख्या = 4x
अब देय मजदुरी = 7y
अब कुल देय मजदुरी = 28xy

अतः कुल देय मजदुरी का अनुपात

30xy:28xy = 30:28 = 15: 14

अतः कुल देय मजदुरी कम होगी।

उदाहरण 08
8,12,14 का चैथा अनुपात(चतुर्थानुपाती) क्या होगा –
Solution-
8:12:14:x
8x= 12 x 14

x=12  x 14/8 = 21
अतः चैथा अनुपात 21 होगा।

उदाहरण 09
8,12 का तीसरा अनुपात क्या होगा –
Solution –
8:12:12:x
8x=12*12
x = 12*12/8 = 18

उदाहरण 10
a:b = 4:7 तथा b:c = 14:15 तो a:c तथा a:b:c ज्ञात करो
Solution-
a/b = 4/7, b/c = 14/15
a/b*b/c=(4/7)*(14/15)=8/15
a/b = 8/15
a:c = 8:15
a:b = 4:7
b:c= 14:15 =14*(7/14):15*(7/14)
a:b:c = 4:7:15/2=8:14:15