औसत(Average)

किसी एक समान राशियों का औसत वह राशि है जो दि गई राशियों के योगफल को उनकी संख्या से भाग देने से प्राप्त होती है। हम एक उदाहरण द्वारा समझने का प्रयास करते हैं, मान लीजिये कि आपके पास 50 आम हैं और आपको उन्हें 10 लोगों में बांटने को कहा जाता है, तो ज़रा सोच कर बताईये कितने आम प्रत्येक व्यक्ति को मिलेंगे, जी हाँ प्रत्येक व्यक्ति को 5 आम ही मिलेंगे, और यदि व्यक्ति 5 होते तो प्रत्येक को 10 आम मिलते, आपने प्रति व्यक्ति आम की संख्या निकाली, जो आपको मिली आमों की संख्या को लोगों की संख्या से विभाजित करने से, बस यही औसत है बस हमें प्रत्येक व्यक्ति पर राशि या जो भी हो निकालना होता है, औसत का मूल सूत्र = आंकडों का योगफल / आँकडों की संख्या या कुल राशि = औसत x आँकडों की संख्या वो प्रश्न जो अक्सर ही प्रतियोगी परीक्षाओं में इस भाग से पूछे जाते हैं प्रथम तरह के प्रश्न - इस तरह के सवाल बडे ही सरल होते हैं इनमें सिर्फ और सिर्फ संख्याओं से सम्बंधित सवाल आते है, जैसे - कुछ संख्याओं का औसत निकालने को दिया जा सकता है, या औसत दिया होगा और संख्याओं का योग पूछ लिया जायेगा, चलिये अब देखें इस तरह के कुछ सवाल- 1. 1 से 19 तक की संख्याओं का औसत क्या होगा- इसका सीधा सा सूत्र है-= (n+1)/2 = ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ (19+1) / 2 =10 2. प्रथम 5 सम संख्याओं का औसत निकालो सूत्र= (n+1)= 5+1= 6 i. परन्तु यदि दिया होता कि विषम संख्याओं का औसत निकालो तब उत्तर होता = n =5 3. एक प्रकार का प्रश्न होता है जिसमें संख्याओं में बराबर अंतर होता है जिसे क्रमागत संख्याओं की सीरीज़ कहा जाता है, उनका औसत पूछा जाता है जैसे- 5, 8, 11, 14, 17.........47 का औसत निकालो, इसका औसत निकालने के लिये बडा आसान सा सूत्र है, इसे याद कर लीजिये = (प्रथम संख्या + अंतिम संख्या)/2 = (47+5)/2 = 26 उत्तर 4. इसी प्रकार जो प्रश्न पूछे जाते हैं यहाँ सभी के सूत्र उपलब्ध कराये जा रहे हैं उसके बाद हम दूसरे प्रकार के प्रश्न देखेंगे a. 1 से लेकर n तक सम संख्याओं का औसत = (अंतिम सम संख्या + 2)/2 * यदि अंतिम संख्या सम है, परंतु यदि विषम है तो = (अंतिम संख्या + 1)/2 एक और प्रकार से आप कर सकते हैं यदि अंतिम संख्या विषम दी हो तो उससे ठीक पहले वाली सम संख्या को ही अंतिम सम संख्या माना जाता है, जैसे यदि अंतिम संख्या 45 दी है तो अंतिम सम संख्या 44 होगी, और औसत 23 होगा, b. 1 से लेकर n तक विषम संख्याओं का औसत इस तरह के प्रश्नों में हमें सिर्फ ये ज्ञात करना होता है कि 1 से लेकर n तक विषम संख्याओं की संख्या कितनी है और जैसा कि आप जानते हैं कि विषम संख्याओं का औसत ऐसी स्थिति में उनकी संख्या ही होती है जैसे- 1 से 9 तक की विषम संख्याओं का औसत निकालो - या - 1 से 10 तक की संख्याओं का औसत निकालो पहली स्थिति में हमें (9+1) में 2 से भाग देना है और उत्तर आ जायेगा और दूसरी स्थिति में हमें बस 10 को 2 से विभाजित करना है, क्योंकि आधी संख्यायें सम और आधी विषम होती हैं c. प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत- = [ (n+1)(2n+1) ] /6 (जहाँ "n" अंतिम संख्या है‌) d. प्रथम प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत = n(n+1)^2 / 4 (जहाँ "n" अंतिम संख्या है‌) अब देखते हैं दूसरे प्रकार के प्रश्न - 1. किसी कक्षा के 30 छात्रों की औसत आयु 14 वर्ष है, यदि एक अध्यापक की भी आयु शामिल कर ली जाये तो औसत आयु 15 वर्ष हो जाती है अध्यापक की आयु ज्ञात कीजिये Solution- इसके लिये एक सामान्य सा सूत्र है = नया औसत + सदस्यों की पुरानी संख्या x औसत में वृध्दि = 15 + 30 x 1 = 45 2. चार व्यक्तियों का औसत वज़न 3 किलोग्राम बढ जाता है यदि 120 किलोग्राम वज़न वाले व्यक्ति के स्थान पर किसी और व्यक्ति को शामिल कर लिया जाता है Solution- ये प्रश्न भी पहले वाले सूत्र से किया जा सकता है = 120 + 4 x 3 = 132 किलोग्राम 3 . यदि कोई व्यक्ति किसी निश्चित दूरी को X कि0 मी0/ घंटा की रफ्तार से तथा उसी दूरी को Y किलोमीटर/घंटा की रफ्तार से तय करे तो उसकी औसत चाल क्या होगी ? Solution- इसका सरलतम सूत्र है = 2xy / x+y और यदि वह तीन विभिन्न चालों से चले(xyz) तो सूत्र होगा = 3 xyz / ( xy+yz+zx ) 4. तीन लडकों की औसत आयु 15 वर्ष है यदि उनकी आयु 3:5:7 के अनुपात में है, सबसे छोटे लडके की आयु क्या होगी ? (SSC CGL 2014) हल: तीनों लडकों की कुल आयु होगी = 15 x 3 = 45 वर्ष अब 45 वर्ष को 3 :5 : 7 के अनुपात में विभाजित कर लीजिये आपका उत्तर आ जायेगा = 45/ ( 3+5+7) = 45/ 15 = 3 अब क्युंकि सबसे छोटे लडके की आयु पूछी गयी है इसलिये इसे सबसे छोटे वाले अनुपात से गुणा करेंगे = 3 x 3 = 9 वर्ष 5. एक कक्षा के 40 छात्रों द्वारा प्राप्त अंको का औसत 86 है यदि 5 सर्वाधिक अंको को निकाल दिया जाये तो औसत एक अंक कम हो जाता है शीर्ष 5 छात्रों के औसत अंक बताइये (SSC CGL 2014) हल: सबसे पहले हम अभी अंको का योग निकालेंगे = 86 x 40 = 3440 अब जो योग उन पाँच अंको को निकालने के बाद बनेगा वह है = 35 x 85 = 2975 दोनों का अंतर = 3440 - 2975 = 465 ये है उन पाँच अंको का योग, अब इसका औसत निकालेंगे = 465 / 5 = 93 उत्तर 6. चार बहनों की औसत आयु 7 वर्ष है यदि माँ की आयु शामिल कर दी जाये तो औसत आयु 6 वर्ष बढ जाती है तो माँ की आयु होगी (SSC CGL 2014) हल: सबसे पहले 4 बहनों की कुल आयु = 7 x 4 = 28 अब जब माँ की आयु शामिल कर ली जाती है तो औसत हो जाता है= 13 तथा कुल लोग = 4 बहन + माँ = 5 इसलिये कुल आयु = 13 x 5 = 65 अत: माँ की आयु = 65- 28 = 37 वर्ष Short Trick से - = नया औसत + सदस्यों की पुरानी संख्या x औसत में वृध्दि = 13 + 4 x 6 = 37 वर्ष 7. किक्रेट के एक खिलाडी का 10 पारियों का कुछ औसत था 11 वीं पारी में उसने 108 रन बनाये तथा इससे उसकी औसत रन संख्या में 6 की बृध्दि हो गई अब उनकी औसत रन संख्या कितनी है हल- n वी पारी = 11 बनाये रन= 108 औसत में बृध्दि= 6 अभीष्ट औसत रन संख्या=आखिरी पारी n में बनाये रन -(n-1) x औसत में बृध्दि =108 - (11-1) x 6 =108-60 = 48 रन 8. एक किक्रेट मैच में 6 खिलाडीयों की औसत रन संख्या 36 थी यदि इनमें से एक खिलाडी ने 16 रन बनाये हो, तो शेष खिलाडीयों की औसत रन संख्या कितना है हल: कुल रन = 36 x 6 = 216 इनमें से एक खिलाडी ने 16 रन बनाये हैं उन्हें घटा देते हैं = 216- 16 = 200 अत: शेष खिलाडियों का औसत = 200/5 = 40 उत्तर उदाहरण राम, मोहन और मुकेश की आयु क्रमशः 5,8,11 वर्ष है। उनकी औसत आयु कितनी होगी - Solution- राशियों का योग =5+8+11 = 24 राशियों की संख्या = 3 औसत = 24/3 = 8 उदाहरण चार क्रमित संख्याओं का औसत 64 है तो संख्याऐं होंगी - Solution- माना संख्याएं है - x, x+1, x+2, x+3 (x + x+1 + x+2 + x+3)/4=64 x=62.5 संख्याऐं होंगी 62.5, 63.5,64.5,65.5 उदाहरण एक क्लब के 20 सदस्यों का औसत भार 60 किग्रा है अब यदि एक नया सदस्य सम्मलित कर लिया जाये तो औसत भार में 1 किग्रा की वृद्धि हो जाति है नये सदस्य का भार ज्ञात किजिए - Solution- सदस्यों का कुल भार = 20*60 = 1200 किग्रा नये सदस्य + 20 सदस्यों का औसत भार = 61 किग्रा (1 किग्रा कि वृद्धि) नये सदस्य + 20 सदस्योें का कुल भार = 61* 21 = 1281 किग्रा अतः नये सदस्य का कुल भार = 1281-1200 = 81 किग्रा उदाहरण एक कक्षा में 10 विद्यार्थी हैं यदि इनमें से 45 किग्रा वाले विद्यार्थी को निकाल दिया जाये और उनके स्थान पर नये विद्याार्थी को प्रवेश देने से औसत भार में 1 किग्रा की वृद्धि होती है। तो नये विद्यार्थी का भार कितना होगा - Solution- भार में वृद्धि = 10*1 = 10 किग्रा अतः नये विद्यार्थी का भार = 45+10 = 55 किग्रा उदाहरण यदि एक कतार में खड़े 11 व्यक्तियों का औसत भार 60 है। यदि प्रथम 6 का औसत भार 55 किग्रा हैं और अंतिम 6 का औसत भार 65 किग्रा हैं तो छठे व्यक्ति का भार ज्ञात करो - Solution- 11 व्यक्तियों का कुल भार = 11.60 = 660 किग्रा प्रथम 6 का कुल भार = 55.6 = 330 किग्रा अंतिम 6 का कुल भार =65.6 = 390 किग्रा छठे व्यक्ति का भार = 330+390-660 = 60 किग्रा उदाहरण एक कम्पनी एक वित्त की प्रथम 2 माह की औसत आय 50,000रू अगले 6 माह की औसत आय 70,000रू तथा अन्तिम माहों में औसत आय 60,000 रू रही तो कम्पनी की औसत मासिक आय कितनी रही - Solution- 1 वर्ष की कुल आय=(50,000*2+70,000*6+60,000*4) =(1,00,000+4,20,000+240,000) = 7,60,000 मासिक औसत आय = 7,60,000/12 = 63,333.3 रू उदाहरण किसी सप्ताह में सोमवार,मंगलवार,बुधवार का औसत तापमान 35 oc हैं मंगलवार, बुधवार बृहस्पति वार का औसत तापमान 38oc हो तो सोमवार का तापमान क्या होगा - Solution- सोमवार, मंगलवार तथा बुधवार का कुल तापमान =35*3 = 105 oc मंगलवार, बुधवार तथा बृहस्पति वार का कुल तापमान = 38.3 = 114 बृहस्पति का तापमान = 36oc मंगलवार व बुधवार का तापमान = 114-36 = 78 oc अब सोमवार का तापमान = सोमवार,मंगलवार व बुधवार का तापमान - मंगलवार व बुधवार का तापमान = 105-78 = 27 oc

औसत(Average)

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