आयतन(Volume)

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम

दुनिया की कोई भी वस्तु जिसकी दीवारे आधार के साथ 90 डिग्री का कोण बनाती है तो उसका आयतन अपन उसके आधार के क्षेत्रफल को उसकी ऊंचाई से गुना करके निकाल सकते है जैसे की अगर किसी घन का आयतन निकालना है तो अपन उसका आधार का क्षेत्रफल निकाल के अगर उसकी ऊंचाई से गुणा कर देंगे तो उस घन का आयतन हमे मिल जायेगा ये हर वस्तु पे लागु होता है।*

दुनिया की कोई भी आकृति चाहे उसमे कितनी भी दीवारे(तीन से ज्यादा होनी चाहिए) हो तथा उसकी दीवारे अगर आधार के साथ 90 डिग्री का कोण बनाती है तो उसे अपन प्रिज्म बोल सकते है उसका आयतन अपन ऊपर बताये गये तरीके से निकाल सकते है*

दुनिया की कोई बी आकृति जिसकी दीवारे(तीन से ज्यादा होनी चाहिए) चाहे कितनी भी हों अगर ऊपर जाकर एक पॉइंट पे मिलती है तो उसे अपन पिरामिड कहते है इसका आयतन जिस प्रिज्म से ये बनता है उसके आयतन का 1/3 होता है । इसको समझने के लिए अपन एक example लेते है। एक बेलन जिसकी दीवारे 90 डीग्री पर ऊपर जाती है इसको अपन प्रिज्म माने (हालाँकि वास्तव में मान नही सकते) तो इसका आयतन πr×r×h होता है।लेकिन एक शंकु जिसकी दीवारे ऊपर एक पॉइंट पे मिलती है जो की बेलन की दीवारों को ऊपर मिला के बनाया जा सकता है का आयतन हमेसा 1/3(बेलन का आयतन होगा)= 1/3×πr×r×h। इसी तरह हर आकृति यही नियम फॉलो करती है*

किसी शंकु का अगर ऊपर का हिस्सा काट दिया जाये तो वो छिन्नक(बाल्टी) बन जाता है जिससे उसमे दो त्रिज्याये बन जाती है एक तो बड़ी त्रिज्या R दूसरी छोटी त्रिज्या r। तो इसके आयतन, तिर्यक भाग का क्षेत्रफल तथा संपूर्ण क्षेत्रफल का शुत्र शंकु से अलग हो जाता है जैसे*

आयतन = πh(R x  R+ r x  r+ R x r)/3
तिर्यक भाग का क्षेत्रफल= πl(R+r) जहां l^2= h^2+(R-r)^2
संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल= π[R^2+r^2+l(R+r)] होगा

 ( Note -  ^  Iska matlab ghat hai )

Areas =  क्षेत्रफल
वर्ग square = a^2
चतुर्भुज rectangle = ab
सामानांतर चतुर्भुज parallelogram = bh
चतुर्भुज trapezoid = h/2 (b1 + b2)
वृत्त circle = pi r ^2
दीर्घवृत्त ellipse = pi r1 r2
त्रिभुज triangle = (1/2) b h
समभुज त्रिकोण equilateral triangle = (1/4)(3) a^2
यदि त्रिभुज में भुजा कोण भुजा दी हो तो triangle given SAS = (1/2) a b sin C

यदि तीन भुजा दी हो तो बिना बिना सम कोण में हेरो सूत्र   triangle given a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] 

when s = (a+b+c)/2 (Heron's formula)

नियमित बहुभुज regular polygon = (1/2) n sin(360°/n) S^2
when n = # of sides and S = length from center to a corner

Volumes = आयतन
घन आयतन cube = a^3
आयताकार rectangular prism = a b c
अनियमित irregular prism = b h
बेलन आयतन cylinder = b h =  r^2 h
pyramid = (1/3) b h
शंकु आयतन cone = (1/3) b h = 1/3  r^2 h
गोला आयतन  sphere = (4/3)  r^3
परवलय आयतन ellipsoid = (4/3) pi r1 r2 r3

Q1. एक बेलनाकार टंकी की धारिता 1848 मीटर (क्यूब) है इसका व्यास 14 मीटर है। टंकी की गहराई ज्ञात कीजिये।
1. 10 मीटर
2. 15 मीटर
3. 12 मीटर✔
4. 8 मीटर
Explanation: बेलन का आयतन= πr^2h=1848
=22×7×7×h/7=1848
H=1848/154=12✔

Q2. लोहे के बने एक खोखले पाइप की लंबाई 1 मीटर तथा इसकी अंदऱी चौड़ाई 3 सेमी है। यह 1 सेमी मोटी लोहे की चादर का बना है। यदि 1 घन सेमी लोहे का भार 21 ग्राम हो, तो इस पाइप का भार कितना है।
1. 25 किलो
2. 26.4 किलो✔
3. 28 किलो
4. 30 किलो

Explanation: अगर अंदर की चौड़ाई 3 सेमी है यो इसका मतलब अंदर की त्रिज्या 1.5 सेमि है तथा अगर जिस चद्दर से ये बना है उसकी मोटाई अगर 1 सेमी है तो बाहर की त्रिज्या 2.5 सेमी होगी । अब अगर लोहे का आयतन निकलना है तो अगर अपन बाहरी त्रिज्या वाले कुल आयतन से अंदर की त्रिज्या वाले कुल आयतन को घटा देंगे तो बचा हुआ आयतन लोहे का ही होगा तो लोहे का आयतन =
π×2.5^2×100(ऊंचाई cm में)- π×1.5^2×100
=π×100[2.5^2-1.5^2]
=22/7 ×100[(2.5+1.5)(2.5-1.5)]
*[ क्योंकि a^2-b^2=(a+b)(a-b)]*
=22/7 ×100× 4×1
=8800/7 घन सेमी
एक घन लोहे का भार 21 ग्राम या 21/1000 kg है तो
भार= 8800×21/7×1000= 26.4 किलो✔

Q3. एक गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी है। इसका आयतन तथा संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिये।
1. आयतन 4800, क्षे 1380
2. आ 4851, क्षे 1386✔
3. आ 4850, क्षे 1380
4. आ 4600, क्षे 1200

Explanation:
यहां r=21/2
आयतन =4πr^3 /3
= 4× 22/7 × 21/2 × 21/2 × 21/2
= 4851 घन सेमी

संपूर्ण पृष्ठ = 4πr^2
= 4 × 22/7 × 21/2 × 21/2
=1386 वर्ग सेमी

Q4. एक शंकु के आधार की त्रिज्या 21 सेमी है तथा ऊंचाई 28 सेमी है। इनकी तिर्यक ऊंचाई ,आयतन, वकृ पृष्ट का क्षेत्रफल तथा संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
1. 30 cm, 12900 cm3, 2300 cm2, 3600 cm2
2. 36 cm, 12936 cm3, 2300 cm2, 3696 cm2
3. 35 cm, 12936 cm3, 2310 cm2, 3696 cm2✔
4. इनमे से कोई नही।

Explanation:
तिर्यक ऊंचाई l=√(r^2+h^2)
=√(21^2+28^2)
=√1225
=35

आयतन=1/3 π r^2 h
=1/3 ×22/7 ×21 ×21× 28
=12936 घन सेमी

वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=πr l
= 22/7 ×21× 35
=2310 वर्ग सेमी

संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल=(πrl+πr^2)
=(2310+ 22/7 ×21×21)
=3696 वर्ग सेमी

Q5. जस्ते के बने एक गोले का व्यास 18 सेमी है। इस गोले से 4 मिमी व्यास की तार खींची गयी है। इस तार की लंबाई कितनी है।
1. 240 मीटर
2. 245 मीटर
3. 100 मीटर
4. 243 मीटर✔

Explanation:
गोले की त्रिज्या=9 सेमी
गोले का आयतन =4/3 π r^3
=4/3 π 9^3

तार की त्रिज्या=2/10 सेमी=1/5
तार की लंबाई= x सेमी तो अगर अपन गोले से तार बना रहे है तो गोले तथा तार(बेलनाकार) का आयतन बराबर होना चाहिए तो
π× 1/5 × 1/5× x = 4/3 π×9×9×9

X=24300 सेमी
या x=243 मीटर✔

Q6. एक घनाभ के विकर्ण की नाप 28 सेमी. है तथा इसके तीनो कोरों की लंबाई का योग 44 सेमी है। इस घनाभ के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल कितना होगा।
1. 576 वर्ग सेमी
2. 1152 वर्ग सेमी✔
3. 1728 वर्ग सेमी
4. 2304 वर्ग सेमी

Explanation:
घनाभ का विकर्ण=√(l^2+b^2+h^2)
28=√(l^2+b^2+h^2)
दोनों और वर्ग करने पर
28^2=l^2+b^2+h^2

Jhan l,b,h क्रमशः लंबाई ,चौड़ाई,ऊंचाई होती है
अब l+b+h=44
दोनों और वर्ग करने पे
(L^2+b^2+h^2)+2lb+2bh+2hl=44^2
ऊपर से वैल्यू रखने पे
28^2+2lb+2bh+2hl=44^2
2lb+2bh+2hl=44^2-28^2
2lb+2bh+2hl=(44+28)(44-28)
2lb+2bh+2hl=72×16
या संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=1152✔

Q7. एक 45 मीटर चौड़ी तथा 2.5 मीटर गहरी नदी का बहाव 3.6 किमी/घंटा है। इससे कितना पानी प्रति मिनट समुन्द्र में गिरता है।
1. 6650 घन मीटर
2. 6750 घन मीटर✔
3. 6850 घन मीटर
4. 6950 घन मीटर

Explanation:
पानी का बहाव=3.6×1000/60
=60 मीटर /मिनट
आयतन= क्षेत्रफल×ऊंचाई(दुरी जो उस टाइम में पानी तय करेगा)
=45×25×60/10
=6750 घन मीटर✔

Q8. तैरने के लिए बना एक तालाब 24 मीटर लंबा तथा 15 मीटर चौड़ा है। कुछ व्यक्तियों के इस तालाब में डुबकी लगाने से पानी के तल की ऊंचाई में 1 सेमी की वृद्धि हो जाती है। यदि प्रत्येक व्यक्ति 0.1 घन मीटर पानी विस्थापित करे तो तालाब में कितने व्यक्ति है।
1. 32
2. 42
3. 46
4. 36✔

Explanation: माना कुल डुबकी लगाने वालों की संख्या=x
तो जीता आयतन व्यक्तियों का होगा उतना ही आयतन पानी का बढ़ेगा(पानी का आयतन बढ़ना मतलब पानी के लेवल की कुछ ऊंचाई बढ़ जायेगी तथा वो ऊंचाई इतनी ही बढ़ेगी की उन आदमियों द्वारा बढ़ाये गये आयतन को कवर कर सके) तो

X*0.1= 24×15×1/100
X=36✔

Q9. एक आयताकार पलाट 13.5 मीटर लंबा तथा 2.5 मीटर चौड़ा है। इसमें एक आयताकार टंकी (5 मी × 4.5 मी × 2.1 मी) खोदी गयी है। इससे निकाली गयी मिटटी को प्लाट के शेष भाग में समान रूप से बिछाया गया है। इससे प्लाट के धरातल की ऊंचाई में कितनी वृद्धि होगी?
1. 4 मीटर
2. 4.1 मीटर
3. 4.2 मीटर✔
4. 4.3 मीटर

Explanation:
दिए गए प्लाट का क्षेत्रफल
=(27/2 ×5/2)=135/4 वर्ग मीटर
टंकी का क्षेत्रफल=9*5/2=45/2
शेष जगह का क्षेत्रफल=
134/4-45/2=45/4 वर्ग मीटर

निकाली गयी मिटटी का आयतन
=5× 9/2×21/10 घन मीटर
=189/4 घन मीटर

ऊंचाई में वृद्धि= 189/4 × 4/45
= 21/5 =4.2 मीटर

Q10. दो घनो के आयतनों का अनुपात 27:64 है। इनके संपूर्ण पृष्ठ के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
1. 3:8
2. 3:4
3. 9:16✔
4. 27:64

Explanation:
आयतन हमेसा घन में होता है तथा क्षेत्रफल हमेसा वर्ग में तो 27/64 घन यूनिट में ह तो सिंगल यूनिट 3/4 होगी
क्षेत्रफल हमेसा वर्ग में होता है तो
9/16 ही होगा✔

Q 11. 2 इंच व्यास का एक पाइप एक टँकी को एक घंटे में पूरी भर देता है। यदि पाइप का व्यास 4 इंच हो, तो टंकी को भरने में कितना समय लगेगा?
1. 10 मिनट
2. 30 मिनट
3. 15 मिनट✔
4. 45 मिनट

Explanation: बेलन का आयतन हमेसा πr^2h होता है तो अगर व्यास दोगुना होगा तो त्रिज्या भी दोगुनी होगी जिससे जो आयतन पाइप पहले डाल रही थी उसका अब 4 गुना आयतन डालेगी क्योंकि
π(2r)^2 =4πr^2h तो टाइम पहले का 1/4 लगेगा तो अब 60/4=15 मिनट ही लगेंगे।

Q12. एक आयताकार कागज का साइज 100 सेमी× 44 सेमी है। इस कागज़ को इसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन कितना है।
1. 4400 घन सेमी
2. 15400 घन सेमी✔
3. 35000 घन सेमी
4. 144 घन सेमी

Explanation:
लंबाई के अनुदिश मोड़ना मतलब चौड़ाई को मोड़ना जो की 44 है अगर इसको वृताकार मोड़ा गया है तो 44 उस वृत्त की परिधि हो जायेगी तो
2πr=44
R=7
तो अब बेलन का आयतन जिसकी ऊंचाई 100 तथ्य त्रिज्या 7 है
=πr^2h
=22×7×7×100/7
=15400 घन मीटर✔

Q13. यदि किसी गोले के अर्धव्यास में 2 मीटर की वृद्धि कर दी जाये तो उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में 704 वर्ग मीटर की वृद्धि हो जाती है। गोले का प्रारंभिक अर्धव्यास कितना है।
1. 16 मीटर
2. 15 मीटर
3. 14 मीटर
4. 13 मीटर✔

Explanation:गोले का परिष्टीय क्षेत्रफल=4πr^2
वृद्धि के बाद =4π(r+2)^2

वृद्धि=4π(r+2)^2-4πr^2
704=4π[(r^2+4r+4)-r^2]
704=4×22/7[4r+4]
704=16×22/7×(r+1)
R+1=14
R=13✔

Q14. एक बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या 18 सेमी तथा ऊंचाई 32 सेमी है। रेत से भरे इस बर्तन को पृथ्वी पर उल्ट कर खाली कर दिया गया तथा रेत को एक शंक्वाकार ढेर के रूप में परिवर्तित कर दिया गया। यदि इस ढेर की ऊंचाई 24 सेमी हो, तो इसके आधार की त्रिज्या क्या होगी?
1. 12 सेमी
2. 24 सेमी
3. 36 सेमी✔
4. 48 सेमी

Explanation: माना शंकु की त्रिज्या r है ।
अब दोनों बार में आयतन बराबर होना चाहिए तो
बेलन का आयतन= शंकु का आयतन
πr^2h= 1/3πR^2H
π×(18)^2×32=1/3πR^2×24
18×18×32= 8×R^2
R^2=(36)^2
R=36✔

Q15. 45 सेमी ऊँची एक बाल्टी एक शंकु के छिन्नक के रूप में है। इसके सिरों की त्रिज्याये क्रमशः 28 सेमी तथा 7 सेमी है। बाल्टी की धारिता तथा पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
1. 48510 घन सेमी,8074 वर्ग सेमी✔
2. 48000 घन सेमि,8075 वर्ग सेमी
3. 46500 घन सेमी,8000 वर्ग सेमी
4. इनमे से कोई नही

Explanation:
l=√(h^2+(R-r)^2)
=√(45^2+21^2)
=√2466=49.6

बाल्टी की धारिता =आयतन
=πh/3 (R^2+ Rr+r^2)
=22/7× 1/3× 45× [28^2+7^2+28×7]
=48510 घन सेमी✔

बाल्टी का क्षेत्रफल=
=πR^2+πr^2+πl(R+r)
=π[R^2+r^2+l(R+r)]
=22/7 × {784+49+49.6×35}
=22/7× 2569
=8074 वर्ग सेमि✔

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