क्षेत्रफल परिमाप

(Area measurement)

Q1. एक त्रिभुजाकार खेत का आधार इसकी ऊंचाई का 3 गुना है । यदि इस खेत की फसल काटने का खर्च 100 रु प्रति हैक्टर की दर से रु 1350 हो, तो इसका आधार तथा ऊंचाई ज्ञात कीजिये।
1. आधार 600, ऊंचाई 300
2. आधार 900, ऊंचाई 300✔
3. आधार 900, ऊंचाई 200
4. इनमे से कोई नही।
Explanation: आधार ,ऊंचाई का तीन गुना है तो माना आधार 3A तो ऊंचाई A।
क्षेत्रफल=1/2 × आ × ऊँ
= 1/2 × 3A× A
कुल रूपये लगे 1350 तथा 100 रु प्रति हेक्टर है तो क्षेत्रफल 1350/100=13.5 हेक्टर
अब 1 हेक्टर= 10000 वर्ग मीटर
यो वर्ग मीटर में क्षेत्रफल = 13.5×10000
=135000
या
3/2 ×a×a= 135000
A× A= 135000×2/3
A=ऊंचाई= √90000=300
3A=आधार=3×300=900

Q2. एक समानांतर चतुर्भुज का आधार उसकी ऊंचाई से दोगुना है। यदि इसका क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमि हो तो इसका आधार तथा ऊंचाई ज्ञात कीजिये।
1. आ. 10, ऊँ 6
2. आ. 6, ऊँ 12
3. आ. 12, ऊँ 6✔
4. आ. 15, ऊँ 12
Explanation:
क्षेत्रफल= आधार× ऊँचाइ
ऊंचाई=h तो आधार=2h
क्षेत्रफल= 2×h×h=72
=h×h=36
H=ऊंचाई=6
2H=आधार=6×2=12

Q3. एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 8 सेमि है तो इसका क्षेत्रफल कितना है। इस त्रिभुज की ऊंचाई भी ज्ञात कीजिये।
1. क्षे. 16√3 , ऊँ 4√3✔
2. क्षे 12√3 ,ऊँ 2√4
3. क्षे 10√3 , ऊँ 4√3
4. क्षे 8√3 , ऊँ 10√3
Explanation:
समबाहु त्रिभुज का क्षत्रफल=
√3/4 a*a (a=भुजा)
=√3/4*8*8
=16√3
अब त्तिभुज का क्षेत्रफल =1/2*आ*ऊँ
1/2*8*ऊँ=16√3
ऊंचाई=4√3

Q4. उस वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके विकर्ण की लंबाई 6 मीटर है।
1. 16 वर्ग मि.
2. 12 वर्ग मि.
3. 18 वर्ग मि.✔
4. 10 वर्ग मि.
Explanation: विकीर्ण के रूप में वर्ग का क्षेत्रफल=
1/2 × विकरणों का गुना
1/2×6×6
=18

Q5. एक आयतकार पार्क की लंबाई 90 मीटर तथा चौड़ाई 60 मीटर है। इसके अंदर चारो और 5 मीटर चौड़ा रास्ता है। इस रास्ते पर रु 15 प्रति वर्ग मीटर की दर से रोड़ी बिछाने का खर्च क्या होगा।
1. 15000
2. 20000
3. 12000
4. 21000✔
Explanation:
पार्क(आयत) का क्षेत्रफल=90×60
रस्ते के भाग को छोड़कर लंबाई 90-10=80 क्योंकि रस्ता दोनों तरफ से 5 5 मीटर काट देगा इसी तरह रस्ते को छोड़कर चौड़ाई 60-10=50

रस्ते को छोड़कर शेष भाग का क्षेत्रफल=80×50=4000
तो रस्ते का क्षेत्रफल= 5400-4000
= 1400 वर्ग मीटर
रस्ते पे रोड़ी बिछाने का खर्चा= ₹(1400×15)= 21000

Q6. एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाये क्रमशः 20 मीटर, 21 मीटर, 29मीटर लंबी है। इस खेत में रू 25 प्रति वर्ग मीटर की दर से फसल काटने का खर्च क्या होगा?
1. 5000
2. 5250✔
3. 5200
4. 5400
Explanation: agar त्रिभुज की तीनों भुजाये दी गयी हो तो अपन *हीरो का सूत्र* लगा के क्षेत्रफल निकलने है
सूत्र= √(s(s-a)(s-b)(s-c) जहां a, b, c त्रिभुज की भुञ्जये है तथा
s=a+b+c/2

यहां s= 20+21+29/2=35
√(35(35-20)(35-21)(35-29)
=√(35×15×14×6)
=5×7×3×2
=210

Q7. दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4:3 है तथा इनकी ऊंचाइयों का अनुपात 3:4 है तो इनके आधार की लंबाइयों का अनुपात क्या होगा?
1. 9:16
2. 16:9✔
3. 25:16
4. 4:9
Explanation: माना आधार क्रमशः x तथा y है तो
1/2*x*3 / 1/2*y*4= 4/3
3x/4y=4/3
X/Y= 16/9

Q8. बस के एक पहिये की त्रिज्या 70 सेमी है। इसे 66 किमी/घंटे की गति के लिए प्रति मिनट कित्ते चक्कर लगाने होंगे।
1. 200
2. 300
3. 250✔
4. 350
Explanation: r=70
66000 meter 60 minute me
1100 meter ek minute me
एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि के बराबर दुरी तय करता है तो परिधि=2πr
=2*22/7*70=440 सेमी
या 440/100
=4.4 मीटर एक चक्कर
तो 1100 मीटर तय करने में लगे चक्कर
=1100/4.4
=250

Q9. एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 1764 वर्ग मीटर है। इससे 4 गुना बड़े वर्गाकार मैदान की परिमिति कितनी होगी?
1. 352 मीटर
2. 312 मीटर
3. 336 मीटर✔
4. 344 मीटर
Explanation:
4 गुना क्षेत्रफल= 4×1764
इसकी भुजा = √(4×1764)
भुजा = 2*42=84
परिमिति = 4×84 = 336

Q10. वर्गाकार रूप में मूड़ी हुई एक इस्पात की तार 121 वर्ग सेमि क्षेत्रफल घेरे हुए है। इस तार को वृताकार रूप में मोड़े जाने पर व्रत का क्षेत्रफल क्या होगा।
1. 168 वर्ग सेमी
2. 172 वर्ग सेमी
3. 154 वर्ग सेमी✔
4. 180 वर्ग सेमी
Explanation: क्षेत्रफल =भुजा×भुजा=121
=भुजा=11 तो परिमिति=11*4=44
परिमिति=परिधि=2πr=44
2*22/7*r=44
R=7
तो 7 त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल=π*r*r
=22/7 * 7*7
=154

Q11. किसी व्रत की त्रिज्या में 1 सेमी की वृद्धि करने पर इसके क्षेत्रफल में 22 वर्ग सेमी की वृद्धि हो जाती है। व्रत की प्रारंभिक त्रिज्या कितनी है?
1. 6 सेमी
2. 3.2 सेमी
3. 3 सेमी✔
4. 3.5 सेमी
Explanation: माना त्रिज्या=r तथा बढ़ाने के बाद r+1 तो क्षेत्रफल में वृद्धि= π(r+1)^2- πr^2=22
π(r^2+2r+1)-πr^2=22
~πr^2~+2πr+π- ~πr^2~=22
π(2r+1)=22
22/7(2r+1)=22
2r+1=7
2r=6
R=3

Q12. अलग - अलग त्रिज्या वाले दो व्रत दिए गए है। एक वर्ग का क्षेत्रफल 196 वर्ग सेमी है, जिसकी भुजा बड़े व्रत की त्रिज्या से आधी है। छोटे व्रत की त्रिज्या बड़े व्रत की त्रिज्या का 3/7 है। छोटे वृत्त की परिधि कितनी है।
1. 12π सेमी
2. 16π सेमी
3. 24π सेमी✔
4. 32π सेमी
Explanation: वर्ग का क्षेत्रफल यदि 196 है तो भुजा 14 होगी। अब बड़े वृत्त की त्रिज्या इसकी दोगुनी है तो 28 होगी तथा छोटे वृत्त की त्रिज्या बड़े वाले की 3/7 है यो छोटे की त्रिज्या 3/7 × 28 =12 होगी। अब परिधि = 2πr= 2π×12=24π✔

Q13. एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा में 2 सेमी की वृद्धि करने पर इसके क्षेत्रफल में 2√3 वर्ग सेमी की वृद्धि हो जाती है। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई कितनी है।
1. 1 सेमी✔
2. √3 सेमी
3. 3 सेमी
4. (√3+2) सेमी
Explanation: माना भुजा =a तो क्षेत्रफल = √3/4×a×a

इसमें 2 सेमि की वरिधि तो भुजा
a+2 तो
क्षेत्रफल= √3/4(a+2)(a+2)

अंतर = बाद वाला - पहले वाला
~√3~/4{(a^2+4a+4)-a^2)}=2 ~√3~
1/4(4a+4)=2
A+1=2
A=1✔

Q 14. एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिमिति 14 सेमि है तथा बराबर भुजाओं में से एक भुजा तथा तीसरी भुजा का अनुपात 5:4 है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है।
1. √21/2
2. 3√21/2
3. 2√21✔
4. √21
Explanation: भुजाये 5x,5x,4x होंगी
परिमिति=14x=14
X=1 तो भुजाये 5,5,4
*हीरो का सूत्र*
S=14/2=7
क्षेत्रफल = √7{(7-5)(7-5)(7-4)
=√(7*2*2*3)
=2√21✔

Q15. एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 8 सेमी लंबी है इस त्रिभुज के परिवर्त तथा अंतःवृत के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना होगा, जबकि π=22/7?
1. 351/7
2. 352/7✔
3. 526/7
4. 527/7
Explanation:
समबाहु त्रिभुज में परिवृत की त्रिज्या हमेसा =a/√3
तथा अन्तः वृत्त की त्रिज्या हमेसा
=a/2√3 होती है जहां a समबाहु त्रिभुज की भुजा होती है।

अब प्रश्न के अनुसार दोनों के बीच का क्षेत्रफल= π*R * R -π*r *r
=π[8/√3*8/√3 - 8/2√3 *8/2√3]
=π[64/3- 64/4*3]
=π[64/3-16/3]
=22×16/7[4/3-1/3]
=352/7✔

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